Das Kaleidoskop

Aus zwei Spiegeln, einer Pappröhre und bunten Glassplittern in einer gläsernen Dose kann man das Kaleidoskop genannte Spielzeug basteln. Wir fragen uns, welchen Winkel die Spiegel miteinander bilden müssen, damit man schöne Bilder sieht. Zunächst die Konstruktionsvor­schrift: für einen 30 Grad weiten Winkel:

(1)   Eine Gerade a durch 2 Punkte F und A und eine Gerade b durch 2 Punkte, nämlich denselben Punkt F und einen Punkt B zeichnen ("Gerade durch 2 Punkte")

(2) Einen 30 Grad weiten Winkel zwischen den Geraden a und b herstellen:

     -  Den Winkel AFB markieren ("Winkelmarkierung") und messen ("Messung")

     -  Den Punkt B greifen und die Gerade b so drehen, daß die Winkelweite 30 Grad beträgt

(3) Einen Punkt P im Winkel zeichnen ("Punkt")

(4)   Den Punkt P mehrfachspiegeln (mehrmals das Makro Geradenspiegeln anwenden) :

     Den Punkt P an a spiegeln, den Bildpunkt P1 nennen, dann

     den Punkt P1 an b spiegeln, den Bildpunkt P2 nennen, dann

     den Punkt P2 an a spiegeln, den Bildpunkt P3 nennen, dann

     den Punkt P3 an b spiegeln, den Bildpunkt P4 nennen, dann.........

Wir beobachten: -   Der 12. Bildpunkt fällt auf den Urpunkt. (Weil die Winkelmessung nur auf Grad genau ist, muß man gegebenenfalls den Winkel durch Drehen der Geraden b geringfügig korrigieren.) -   Alle 12 Punkte liegen auf einem Kreis, nämlich auf dem Kreis um F durch P. Wir zeichnen den Kreis. ("Kreis aus Kreismittelpunkt und Kreispunkt") -   Wir greifen den Punkt P mit der Zughand und lassen ihn von a durch das Winkelgebiet nach b wandern. Sonderfälle: Liegt P auf a oder auf b, so sehen wir nur noch 6 Punkte. Liegt P auf der Winkelhalbierenden, so liegen alle Punkte in regelmäßigem Abstand (regelmäßiges 12-Eck).

-   Wir greifen den Punkt B mit der Zughand und drehen die Gerade b um F. Dabei beob­achten wir:

    Es gibt Winkel, bei denen die Bildpunkte ungeordnet liegen und keiner der Bildpunkte auf einen Urpunkt trifft. In diesen Fällen würde ein Kaleidoskop keine "schönen" Bilder liefern.

    Es gibt aber auch Winkel, bei denen die Bildpunkte geordnet auf dem Kreis liegen und einer der Bildpunkte auf den Urpunkt trifft. In diesen Fällen wird das Kaleidoskop "schöne" Bilder liefern.

    Mit größer werdendem Winkel nimmt die Anzahl der sichtbaren Punkte ab. Wir fragen nach einer Beziehung zwischen den Winkeln mit "schönen" Bildern und der Anzahl der dabei sichtbaren Punkte. Dazu drehen wir die Gerade b von 30^o bis 180^o und stellen das Er­gebnis in einer Tabelle zusammen:

    Winkel mit "schönen" Bildern.............3O^o   45^o   60^o   90^o   120^o   180^o

     ^{Anzahl der sichtbaren Punkte.............12       8       6       4         3         2}

-   Hätte man das Experiment mit dem 15^o-Winkel begonnen, so hätte man 24 Bildpunkte konstruieren müssen. Der 24. Bildpunkt wäre auf den Urpunkt gefallen.

In der Praxis bastelt man das Kaleidoskop mit einem 60^o-Winkel, und das hat einen tech­nischen und einen physikalischen Grund.

-   Der technische Grund: Man braucht nur die beiden Spiegel mit einem gleichbreiten Stück Pappe mittels Klebestreifen zusammenzufügen. Der Querschnitt ist dann ein gleichseitiges Dreieck und damit ist der 60^o-Winkel gesichert.

-   Der physikalische Grund: Je kleiner der Winkel, desto größer zwar die Anzahl der Bild­punkte und damit die Vielfalt des Bildes, desto lichtschwächer aber auch die vielen Spie­gelbilder. Der 60^o-Winkel ist einen Kompromiß zwischen der Vielfalt und der Lichtstärke.

Statt einen Punkt kann man auch ein Dreieck oder eine freihandgezeichnete Figur im Kaleidoskop spiegeln. Für das Freihandzeich­nen muß man allerdings noch eine Anwei­sung hinzufügen: (5) Die Option Ortslinie aufrufen, die Shift-Taste drücken und die Punkte P, P1, P2, P3, ..... nacheinander anklicken, den Punkt P mit der Zughand greifen und mit dem Freihand­zeichnen beginnen. Man vergleiche das Kaleidoskop-Bild mit dem Bild beim Mehrfachspiegeln.