Wir begründen disen Sachverhalt in zwei Schritten:

Schritt 1: H liegt auf der Potenzlinie

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Aus der Zeichnung ersehen wir: Sei |AH| = , AF = , |HB| = und |BE| = .

Dann gilt nach Pythagoras und . Da |FH|=|HE|, denn das Dreieck FHE ist ein gleichschenkliges Dreieck, gilt also oder auch

Falls H auf der Potenzlinie zweier Kreise k1 und k2 liegt, so ist P(K,k1)=P(H,k2) und somit , also . Es folgt, dass H auf der Potenzlinie beider Kreise liegen muss.

Schritt 2: Die Senkrechte auf H durch AB entspricht der Potenzlinie

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Wir haben oben gesehen, dass für alle Punkte auf der Potenzlinie gilt, dass . Nun zeigen wir, dass alle diese Punkte auf einer Senkrechten zu AB liegen. Sei D ein Punkt mit der Eigenschaft, dann gilt . Hat man nun von D die Senkrechte auf AB gezogen und auf ihr irgendeinen anderen Punkt E gewählt, so gilt für ihn und . Also gilt