Eine Aufgabenfamilie

Die Aufgabenfamilie besteht aus einer Grundaufgabe und zwei Variationen bzw. Verallgemei­nerungen. Dabei wird die Spiegelvorschrift (also ein abbildungsgeometrisches Werkzeug) als Konstruktionsmittel für eine figurengeometrische Aufgabe eingesetzt. Die figurengeometrisch formulierte Aufgabe muß deshalb zuerst abbildungsgeometrisch uminterpretiert werden.

Die Grundaufgabe: Zeichne drei Geraden a, b, c. Konstruiere ein Quadrat, von dem zwei Ecken auf a und je eine auf b und c liegen.

Zuerst zeichnen wir eine Überlegungsfigur: (1) Drei Geraden a, b, c zeichnen ("Gerade") (2)   Zwei Punkte auf die Gerade a legen ("Punkt auf Objekt") und A und C nennen (3)   Das Quadrat über den diagonal liegenden Punkten A und C zeichnen (Makro Quadrat aus diagonalen Eckpunkten) (4)   A und/oder C, notfalls auch b und/oder c verziehen, bis optisch B auf b und D auf c liegen. Diese beiden optisch hergestellten Objektbindungen "B auf b" und "D auf c" kann man mit dem Cabri Géomètre nicht fixieren. Man muß sie sich denken. (Wichtig!) Aus der Überlegungsfigur ergibt sich die Lösungsstrategie: Die Gerade a ist Symmetrieachse des Quadrats.

Durch Spiegeln an a wird das Quadrat auf sich abgebildet (Deckabbildung des Quadrats), dabei werden B und D aufeinander abgebildet. Wegen der Objektbindung von B an b und D an c werden mit den beiden Punkten B und D auch die Geraden b und c mitgespiegelt. Die Bildgerade b' geht durch B'=D und c' geht durch D'=B. Also ist B der Schnittpunkt von b und c', entsprechend ist D der Schnittpunkt von c und b'.

Aus der (abbildungsgeometrischen) Lösungsstrategie entwickeln wir die (figurengeometrische) Konstruktionsvorschrift, indem wir die Konstruktionsschritte nacheinander aufschreiben. Mit der "Rückblende" können wir sie uns anschließend noch einmal vergegenwärtigen.

(1) Drei Geraden a, b, c zeichnen ("Gerade")

(2) Die Geraden b und c spiegeln:

     -  a und b, b und c, c und a schneiden ("Schnitt"), damit man für das anschließende Spiegeln zwei
   Punkte je Gerade zur Verfügung hat, oder 2 "Punkte auf Objekt" b und c legen

     -  Die Geraden b und c an der Geraden a spiegeln (Makro Geradenspiegeln-Gerade)

        die Bildgeraden b' bzw c' nennen

(3)   Die Geraden b und c' schneiden ("Schnitt"), den Schnittpunkt B nennen      Die Geraden c und b' schneiden ("Schnitt"), den Schnittpunkt D nennen (4)   Das Quadrat über den diagonal liegenden Eckpunkten B und D zeichnen (Makro Quadrat aus diagonalen Eckpunkten),      Die Eckpunkte auf der Geraden a mit A und C bezeichnen.

Fallunterscheidung: Wir betrachten jetzt die Geraden b und c als Parameter. Während wir c wieder als "Gerade" zeichnen und damit parallel verschieben können, zeichnen wir b als "Gerade durch 2 Punkte", nämlich einen "Punkt auf Objekt a" und einen weiteren Punkt, um b drehen zu können. Dann führen wir die Konstruktion des Quadrats wie oben durch.

Nun drehen wir die Gerade b um ihren Schnittpunkt mit a eine volle Umdrehung, verschieben gegebenenfalls auch c und beobachten dabei die stetigen Veränderungen der Geraden b,b',c,c' und des Quadrats. Bezüglich der Anzahl der Lösungen finden wir:

-   Schneiden sich b' und c bzw. c' und b in 1 Punkt, so hat die Aufgabe genau 1 Lösung.

-   Im Falle b=b'=a ist die Lösung ausgeartet (ein Punkt).

-   Ist b' parallel zu c bzw c' parallel zu b, so gibt es für b'=c, c'=b beliebig viele, im an­deren Falle keine Lösungen.

Erste Variation der Grundaufgabe: Die Gerade c wird durch einen Kreis k ("Kreis") ersetzt. Gesucht sind alle Quadrate ABCD, deren Ecken A und C auf a, B auf b und D auf k liegen.

Zum Konstruieren werden die Makros "Geradenspiegeln-Gerade", "Geradenspiegeln-Kreis" und das Makro "Quadrat aus diagonalen Eckpunkten" benötigt. Zur Fallunterscheidung drehen wir die Gerade b um ihren Schnittpunkt mit a ("Gerade durch 2 Punkte"). Es gibt 2, 1 oder keine Lösung, je nachdem, ob b' und k bzw k' und b sich schneiden, berühren oder meiden.

Die zweite Variation: Die Geraden b und c werden beide durch Kreise k1 bzw. k2 ersetzt. Gesucht sind alle Quadrate ABCD, deren Ecken A und C auf a, B auf k1 und D auf k2 liegen. Zur Konstruktion werden die Makros "Geradenspiegeln-Kreis" und "Quadrat aus diagonalen Eckpunkten" benötigt. Zur Fallunterscheidung verschieben wir einen Kreis und/oder ändern den Radius ("Kreis aus Kreismittelpunkt und Kreispunkt"). Es gibt 2, 1, keine oder beliebig viele Lösungen, je nachdem, ob k1' und k2 bzw k2' und k1 sich schneiden, berühren, meiden oder gleich sind.