Erste Aufgabe: Gegeben ist ein Kreis k (Mittelpunkt M), ein Punkt P im Innern des Kreises
und eine Strecke [AB] gegebener Länge s. Gesucht sind alle Kreissehnen der Länge
s, die durch P gehen.
Lösungsstrategie: Wir zeichnen zuerst eine beliebige Kreissehne [A'B'] der gegebenen Länge
s, fixieren darauf einen dem Punkt P entsprechenden Punkt P' und drehen [A'B']
um P so, daß P' auf P abgebildet wird. Eine zweite Lösung ergibt sich aus Symmetriegründen
am einfachsten durch Spiegeln an der Durchmessergeraden (Symmetrieachse) MP.
Die recht aufwendige Konstruktionsvorschrift, bei der wir jede Hilfslinie
nach Gebrauch ausradieren, um die Übersicht zu behalten, lautet dann:
(1) Den Kreis k zeichnen ("Kreis )
Den Punkt
P im Innern des Kreises k zeichnen ("Punkt")
Eine Strecke
[AB] der gegebenen Länge s zeichnen ("Strecke")
(2) Eine beliebige Kreissehne der Länge s so konstruieren:
- Einen Punkt A' auf k legen ("Punkt auf Objekt")
- Den Hilfskreis h1 um A' mit Radius |AB| zeichnen
("Kreis aus Kreismittelpunkt und Radius")
- Die Kreise h1 und k schneiden ("Schnitt"), einen der Schnittpunkte
B' nennen
- Strecke [A'B'] zeichnen ("Strecke"), sie ist die gesuchte beliebige Kreissehne.
- Den Hilfskreis h1 und den 2. Schnittpunkt von
h1 und k ausradieren ("Radiergummi")
(3) Den Punkt P' auf der Kreissehne [A'B'] so bestimmen:
- Den Hilfskreis h2 um M durch P zeichnen ("Kreis aus Kreismittelpunkt und Kreispunkt)
- Kreis h2 und Sehne [A'B'] schneiden ("Schnitt"), einen der Schnittpunkte
P' nennen.
- Den Hilfskreis h2 und den zweiten Schnittpunkt
von h2 und [A'B'] ausradieren ("Radiergummi")
(4) Die eine Lösungs-Sehne so konstruieren:
- Einen zum Winkel P'MP gleichgroßen Winkel UVW
zeichnen (Makro Winkelübertragung),
dann einen
Punkt W auf den freien Schenkel legen,
Strecke [VW] zeichnen, den freien Schenkel ausradieren
- Die Gerade g' durch die Punkte A' und B' legen
("Gerade durch 2 Punkte")
- Die Gerade g' um M mit dem Winkel UVW drehen
(Makro Drehen-Gerade), die Bildgerade g1
nennen
- Gerade g1 und Kreis k schneiden, die Schnittpunkte
mit A1 und B1 bezeichnen
- Strecke [A1B1] zeichnen ("Strecke"), sie ist die eine Lösungs-Sehne.
- Gerade g' ausradieren ("Radiergummi")
(5) Die andere Lösungs-Sehne so konstruieren: - Die Gerade MP zeichnen ("Gerade durch 2 - Die Gerade g1 an der Geraden MP spie- - Gerade g2 und Kreis k schneiden - Die Strecke [A2B2] zeichnen ("Strecke"), - Geraden MP, g1 und g2 ausradieren ("Radiergummi"). |
- Ist P=M, so
gibt es für s=d beliebig viele
Lösungs-Sehnen
für s<d keine Lösungs-Sehnen.
- Ist P¹M, so
gibt es für s=d genau 1 Lösungssehne, nämlich den Durchmesser durch P,
für s<d genau 2, 1 oder keine Lösungs-Sehne
je nachdem, ob der Hilfskreis l2 die Sehne [A'B'] schneidet, berührt
oder meidet.
Die zweite
Aufgabe: Gegeben sind ein
Kreis k und ein Punkt P im Außengebiet des Kreises, außerdem eine Strecke
der Länge r und eine Strecke [AB] der Länge s. Gesucht sind alle Kreise
mit dem Radius r, die mit k eine gemeinsame Sehne der Länge s haben und
durch P gehen. Die Lösungsstrategie ist dieselbe wie bei der ersten Aufgabe: Zuerst eine beliebige Sehne [A'B'] der Länge s in den Kreis k einzeichnen und zu dieser Sehne einen Kreis l' mit dem Radius r konstruieren. Auf diesem Kreis einen dem Punkt P entsprechenden Punkt P' fixieren und den Kreis um M so drehen, daß der Bildkreis l1 durch P geht. Die Schnittpunkte von k und l1 sind die Endpunkte der Sehne [A1B1]. Die zweite Lösungsfigur findet man durch Spiegeln an der Symmetrieachse MP. Auch hier sollte man daran denken, jede Hilfslinie nach Gebrauch sofort wieder auszuradieren, damit die Übersicht gewahrt bleibt. |